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Medicus Excelsior Science Cosmos供图
朋友们，你听说过冰淇淋模型吗？如图１，四边形ＡＢＣＤ是不是有点像冰淇淋呢？对角线ＡＣ将其分成了两个三角形，其中△ＡＢＣ是特殊的三角形（普通的等腰三角形、等边三角形或者等腰直角三角形），△ＤＡＣ是普通的三角形（ＡＤ、ＣＤ、∠Ｄ的大小已知），这就是冰淇淋模型图，在这个模型中一般是求对角线ＢＤ的长。
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请看例题
如图2，△ＡＢＣ是等边三角形，△ＡＣＤ在△ＡＢＣ外部，ＡＤ＝３，ＣＤ＝４，∠Ｄ＝３０°，求ＢＤ的长。
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思路分析：如图３，在△ＡＤＣ外构造等边△ＰＤＣ，连接ＡＰ。
下面先证ＡＰ＝ＢＤ
易证∠ＡＣＰ＝∠ＢＣＤ＝６０°＋∠ＡＣＤ
又ＡＣ＝ＢＣ ＰＣ＝ＤＣ
∴△ＡＣＰ≌△ＢＣＤ（ＳＡＳ）
∴ＡＰ＝ＢＤ
∵∠ＡＤＰ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＰ
＝３０°＋６０°
＝９０°
又∵ＰＤ＝ＣＤ＝４
∴在Ｒｔ△ＡＤＰ中 由勾股定理，得
ＡＰ２＝ＡＤ２＋ＰＤ２
＝３２＋４２
＝２５
∴ＡＰ＝５
∴ＢＤ＝ＡＰ＝５
练习
１、如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，△ＡＢＣ是等腰直角三角形，∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＤＣ＝４５°，ＡＤ＝８，ＣＤ＝４，求ＢＤ的长。
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提示：如图５，在△ＡＤＣ外作等腰Ｒｔ△ＡＰＤ，∠ＰＡＤ是直角，ＡＰ＝ＡＤ＝８，连接ＣＰ．
先证△ＡＰＣ≌△ＡＤＢ，从而ＣＰ＝ＢＤ
在Ｒｔ△ＰＤＣ中，由勾股定理，可求得ＣＰ长
答案：ＢＤ＝１２
２、如图６，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝１２０°，ＡＣ＝ＢＣ，△ＡＤＣ在△ＡＢＣ外，∠ＡＤＣ＝６０°，ＡＤ＝４，ＣＤ＝２，求ＢＤ的长。
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提示：如图７，以ＤＣ为腰，在△ＡＤＣ外做等腰△ＤＣＰ，∠ＤＣＰ＝１２０°，
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先证△ＡＣＰ≌△ＢＣＤ
∴ＡＰ＝ＢＤ
在Ｒｔ△ＡＤＰ中，由勾股定理，可求得
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３、如图８，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝２，ＣＤ＝３，∠ＡＤＣ＝６０°，ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，求ＢＤ的长。
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提示：如图９，在四边形ＡＢＣＤ外作等边△ＰＡＤ，连接ＰＣ，易证△ＡＰＣ≌△ＡＤＢ，得ＣＰ＝ＢＤ，只需求出ＣＰ长即可。
过点Ｐ作ＰＥ⊥ＣＤ，交ＣＤ延长线于点Ｅ
在Ｒｔ△ＰＥＤ中，ＰＤ＝ＡＤ＝２
∠ＰＤＥ＝１８０°－∠ＰＤＣ＝６０°
易得ＤＥ，ＰＥ的长，然后在Ｒｔ△ＰＥＣ中，由勾股定理求ＣＰ即可。
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归纳：
１、冰淇淋模型由一个特殊三角形和一个普通三角形构成，这两个三角形有一条公共边。
２、解法：本质上是构造全等三角形，将所求线段转化。具体做法是构造一个与特殊三角形形状完全相同的三角形，然后利用手拉手模型证全等，使所求线段转化为另一条线段，求出该条线段长即可。
３、此类题解法不唯一，要根据具体条件，选择合适的解题思路。
这期内容就知道这里，冰淇淋模型，你学会了吗？
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